Also verwendest Du doch hyperref. Damit kannst Du also wie von ctansearch vorgeschlagen eine Umdefinierung von \subsubsectionautorefname in die Dokumentpräambel einfügen, beispielsweise:
Code:
\AtBeginDocument{%
  \renewcommand*{\subsectionautorefname}{\sectionautorefname}%
  \renewcommand*{\subsubsectionautorefname}{\subsectionautorefname}%
  \renewcommand*{\paragraphautorefname}{\subsubsectionautorefname}%
  \renewcommand*{\subparagraphautorefname}{\paragraphautorefname}%
}
Wie man bei LyX Code in die Präambel einfügt, weißt Du? Das geht AFAIR über die Dokumenteinstellungen.

Solange Du nicht innerhalb des Dokuments die Sprache umschaltest, müsste das so bereits funktionieren. Anderenfalls muss man die Änderungen eventuell an \HyLang@german anhängen bzw. \HyLang@german umdefinieren.

PS: Sorry hat sich mit Ulrikes Antwort überschnitten.