Lloyd Blankfein
24-09-2012, 16:35
Hallo,
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{array}
\usepackage[french,english,ngerman]{babel}
\begin{document}
\subsection{Anwendung des Kalman Filters}
\label{Anwendung des Kalman Filters}
Zur Voraussage und Absch"atzung der Zust"ande dynamischer Systeme, eignet sich der Kalman Filter besonders gut (s. auch Abschnitt).
Die zugrundeliegenden Zeitreihen basieren auf unvollst"andigen bzw. \textit{``noisy''} (engl. durch das ``Rauschen'' ungenauen) Messwerten. Angenommen es steht das ``noisy'' lineare System in Form der folgenden Gleichungen zur Verf"ugung:
\begin{equation}
\begin{aligned}
x_k&=Ax_{k-1}+w_{k-1}\\
z_k&=Hx_k+v_k
\end{aligned}
\end{equation}
Dieses Gleichungssystem nutzt den zuvor gesch"atzten Zustand $\widehat{x}_{k-1}$,um den Zustand zur Zeit $k$, $\overline{x}_k$ vorauszusagen, wie dies aus der nachfolgenden Gleichung zu entnehmen ist:
\begin{equation}
\begin{aligned}
\overline{x}_k&=A\widehat{x}_{k-1}\\
\overline{P}_k&=A\widehat{P}_{k-1}A^\shortmid +Q
\end{aligned}
\end{equation}
Diese Gleichungen wiederum nutzten den Messwert, $z_k$ und den vorausgesagten Zustand $\overline{x}_k$, um den Zustand zur Zeit $k$, $\widehat{x}_k$ zu sch"atzen, so dass die folgende Ann"aherung besser gelingt:
\begin{equation}
\begin{aligned}
K_k&=\overline{P}_k H^\shortmid\left(H \overline{P}_k H^\shortmid+R\right)^{-1}\\
\widehat{x}_k&=\overline{x}_k+K_k\left(z_k-H\overline{x}_k\right)\\
\widehat{P}_k&=\left(I-K_k H\right)\overline{P}_k
\end{aligned}
\end{equation}
Die Variablen der vorangegangenen Gleichungen sind in der nachfolgenden Tabelle definiert (s. Tab.):\newpage
\begin{figure}[!htb]
\centering
%\includegraphics{Kalman}
\includegraphics[width=\textwidth,height=600px]{Kalman}
\caption[Kalman Filter]{Er"orterungen der Variablen zum Kalman Filter.}
\label{Kalman}
\end{figure}\newpage
\subsection{Regressionsmodell mit Wechseln zwischen den beiden Regimen 0 und 1}
Ein einfaches Regressionsmodell mit Wechseln zwischen den beiden Regimen 0 und 1 zu den Zeitpunkten $t$ mit ($t=1, 2,\ldots, T$) kann so formuliert werden:
\begin{equation}
\begin{aligned}
y_t=x_t+\beta_{S_t}+e_t
\end{aligned}
\end{equation}
Mit $e_t$ als unabh"angigen und identisch verteilten Zufallsvariablen $N\left(0,\sigma^2_{S_t}\right)$, $x_t \epsilon \mathbb {K}^{1 \times k}$ als der exogenen Variablen und dem Regime $S_t=0$ oder $1$. Au"serdem gilt:
\begin{equation}
\begin{aligned}
\beta_{S_t}&=\beta_0\left(1-S_t\right)+\beta_1 S_t\\
\sigma^2_{S_t}&=\sigma^2_0\left(1-S_t\right)+\sigma^2_1 S_t
\end{aligned}
\end{equation}
Falls die Zeitpunkte $t$, an denen die Regime-Umbr"uche stattfinden, von vornherein bekannt sind, ist der Sachverhalt so einfach, dass $S_t$ im Regime $0$ den Wert $0$ annimmt und im Regime $1$ den Wert $1$. Die Likelihood Funktion, die in ihrer logarithmierten Form (der sog. log-Likelihood Funktion) zur Sch"atzung der Parameter benutzt wird, sieht dann simplerweise so aus:
\begin{equation}
\begin{aligned}
\ln L=\overset{T}{\underset{t=1}{\sum}} \ln \left(f\left(y_t|S_t\right)\right)
\end{aligned}
\end{equation}
mit
\begin{equation}
\begin{aligned}
f\left(y_t|S_t\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2_{S_t}}}\exp\left\{-\frac{\left(y_t-x_t \beta_{S_t}\right)^2}{2\sigma^2_{S_t}}\right\}
\end{aligned}
\end{equation}
Wenn aber die Zeitpunkte der Regimewechsel unbekannt sind, liegen Ph"anomene vor, die mit Markow-Ketten approximiert werden m"ussen. Es ist aber f"ur das System der Markow-Ketten typisch, dass der "ubergang zur Variable $S_t$, die f"ur ein bestimmtes Regime steht, von den Variablen $S_{t-1}$ und $S_{t-2},\ldots, S_{t-r}$ abh"angt, allerdings nicht in deterministischer Weise, sondern nur im Rahmen einer gewissen "ubergangswahrscheinlichkeit. Gibt es, was den einfachsten aller Jump-Prozesse darstellt, nur die zwei Regime $0$ und $1$, gibt es auch nur die beiden Wahrscheinlichkeiten vom Zustand $0$ in den Zustand $1$ zu gelangen (Wahrscheinlichkeit $p$) und umgekehrt vom Zustand $1$ wieder in den Zustand $0$ zu gelangen (Wahrscheinlichkeit $q$). Die entsprechenden Formeln sind:
\begin{equation}
\begin{aligned}
p&=P\left(S_t=1|S_{t-1}=0\right)=\frac{\exp\left\{p_0\right\}}{1+\exp\l eft\{p_0\right\}}\\
q&=P\left(S_t=0|S_{t-1}=1\right)=\frac{\exp\left\{q_0\right\}}{1+\exp\l eft\{q_0\right\}}
\end{aligned}
\end{equation}
\end{document}
mit obigem Code erzeuge ich ein dreiseitiges pdf. Obwohl ich im Code explizit mittels newpage einen Seitenumbruch in Seite 1 erzwinge, erscheint die ganzseitige Grafik nicht wie erwünscht auf Seite 2 sondern am Ende des Dokuments.
Ich hab keine Ahnung wo das Problem liegt :confused:
Hat jemand eine Idee?
Vielen Dank für eure Hilfe,
Lloyd
\documentclass[a4paper,10pt]{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{array}
\usepackage[french,english,ngerman]{babel}
\begin{document}
\subsection{Anwendung des Kalman Filters}
\label{Anwendung des Kalman Filters}
Zur Voraussage und Absch"atzung der Zust"ande dynamischer Systeme, eignet sich der Kalman Filter besonders gut (s. auch Abschnitt).
Die zugrundeliegenden Zeitreihen basieren auf unvollst"andigen bzw. \textit{``noisy''} (engl. durch das ``Rauschen'' ungenauen) Messwerten. Angenommen es steht das ``noisy'' lineare System in Form der folgenden Gleichungen zur Verf"ugung:
\begin{equation}
\begin{aligned}
x_k&=Ax_{k-1}+w_{k-1}\\
z_k&=Hx_k+v_k
\end{aligned}
\end{equation}
Dieses Gleichungssystem nutzt den zuvor gesch"atzten Zustand $\widehat{x}_{k-1}$,um den Zustand zur Zeit $k$, $\overline{x}_k$ vorauszusagen, wie dies aus der nachfolgenden Gleichung zu entnehmen ist:
\begin{equation}
\begin{aligned}
\overline{x}_k&=A\widehat{x}_{k-1}\\
\overline{P}_k&=A\widehat{P}_{k-1}A^\shortmid +Q
\end{aligned}
\end{equation}
Diese Gleichungen wiederum nutzten den Messwert, $z_k$ und den vorausgesagten Zustand $\overline{x}_k$, um den Zustand zur Zeit $k$, $\widehat{x}_k$ zu sch"atzen, so dass die folgende Ann"aherung besser gelingt:
\begin{equation}
\begin{aligned}
K_k&=\overline{P}_k H^\shortmid\left(H \overline{P}_k H^\shortmid+R\right)^{-1}\\
\widehat{x}_k&=\overline{x}_k+K_k\left(z_k-H\overline{x}_k\right)\\
\widehat{P}_k&=\left(I-K_k H\right)\overline{P}_k
\end{aligned}
\end{equation}
Die Variablen der vorangegangenen Gleichungen sind in der nachfolgenden Tabelle definiert (s. Tab.):\newpage
\begin{figure}[!htb]
\centering
%\includegraphics{Kalman}
\includegraphics[width=\textwidth,height=600px]{Kalman}
\caption[Kalman Filter]{Er"orterungen der Variablen zum Kalman Filter.}
\label{Kalman}
\end{figure}\newpage
\subsection{Regressionsmodell mit Wechseln zwischen den beiden Regimen 0 und 1}
Ein einfaches Regressionsmodell mit Wechseln zwischen den beiden Regimen 0 und 1 zu den Zeitpunkten $t$ mit ($t=1, 2,\ldots, T$) kann so formuliert werden:
\begin{equation}
\begin{aligned}
y_t=x_t+\beta_{S_t}+e_t
\end{aligned}
\end{equation}
Mit $e_t$ als unabh"angigen und identisch verteilten Zufallsvariablen $N\left(0,\sigma^2_{S_t}\right)$, $x_t \epsilon \mathbb {K}^{1 \times k}$ als der exogenen Variablen und dem Regime $S_t=0$ oder $1$. Au"serdem gilt:
\begin{equation}
\begin{aligned}
\beta_{S_t}&=\beta_0\left(1-S_t\right)+\beta_1 S_t\\
\sigma^2_{S_t}&=\sigma^2_0\left(1-S_t\right)+\sigma^2_1 S_t
\end{aligned}
\end{equation}
Falls die Zeitpunkte $t$, an denen die Regime-Umbr"uche stattfinden, von vornherein bekannt sind, ist der Sachverhalt so einfach, dass $S_t$ im Regime $0$ den Wert $0$ annimmt und im Regime $1$ den Wert $1$. Die Likelihood Funktion, die in ihrer logarithmierten Form (der sog. log-Likelihood Funktion) zur Sch"atzung der Parameter benutzt wird, sieht dann simplerweise so aus:
\begin{equation}
\begin{aligned}
\ln L=\overset{T}{\underset{t=1}{\sum}} \ln \left(f\left(y_t|S_t\right)\right)
\end{aligned}
\end{equation}
mit
\begin{equation}
\begin{aligned}
f\left(y_t|S_t\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2_{S_t}}}\exp\left\{-\frac{\left(y_t-x_t \beta_{S_t}\right)^2}{2\sigma^2_{S_t}}\right\}
\end{aligned}
\end{equation}
Wenn aber die Zeitpunkte der Regimewechsel unbekannt sind, liegen Ph"anomene vor, die mit Markow-Ketten approximiert werden m"ussen. Es ist aber f"ur das System der Markow-Ketten typisch, dass der "ubergang zur Variable $S_t$, die f"ur ein bestimmtes Regime steht, von den Variablen $S_{t-1}$ und $S_{t-2},\ldots, S_{t-r}$ abh"angt, allerdings nicht in deterministischer Weise, sondern nur im Rahmen einer gewissen "ubergangswahrscheinlichkeit. Gibt es, was den einfachsten aller Jump-Prozesse darstellt, nur die zwei Regime $0$ und $1$, gibt es auch nur die beiden Wahrscheinlichkeiten vom Zustand $0$ in den Zustand $1$ zu gelangen (Wahrscheinlichkeit $p$) und umgekehrt vom Zustand $1$ wieder in den Zustand $0$ zu gelangen (Wahrscheinlichkeit $q$). Die entsprechenden Formeln sind:
\begin{equation}
\begin{aligned}
p&=P\left(S_t=1|S_{t-1}=0\right)=\frac{\exp\left\{p_0\right\}}{1+\exp\l eft\{p_0\right\}}\\
q&=P\left(S_t=0|S_{t-1}=1\right)=\frac{\exp\left\{q_0\right\}}{1+\exp\l eft\{q_0\right\}}
\end{aligned}
\end{equation}
\end{document}
mit obigem Code erzeuge ich ein dreiseitiges pdf. Obwohl ich im Code explizit mittels newpage einen Seitenumbruch in Seite 1 erzwinge, erscheint die ganzseitige Grafik nicht wie erwünscht auf Seite 2 sondern am Ende des Dokuments.
Ich hab keine Ahnung wo das Problem liegt :confused:
Hat jemand eine Idee?
Vielen Dank für eure Hilfe,
Lloyd