boba
03-02-2006, 22:44
Hallo,
ich bin dabei eine Menge Formel usw mit Latex zu erstellen und habe noch einige Probleme bei der Ausrichtung, das A4 Blatt wird vom vorhandenen Platz nicht optimal genutzt, der Text fängt mitten auf dem Blatt an und die Darstellung könnte kleiner sein. Ich würde gerne mit Minipages arbeiten damit ich 2 Themen nebeneinander packen kann.
Dies ist mein erster Latex Versucht und ein paar Tips wären hilfreich.
\documentclass[10pt,a4paper,fleqn]{article}
%\twocolumn[2]
\usepackage{a4,german} %ngerman für neue Rechtschreibung
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
% \usepackage{url}
%\pagestyle{plain}
\pagenumbering{arabic}
\begin{document}
\begin{scriptsize}
\begin{minipage}{10cm}
\textbf{Reihen}\\
Leibnitzkriterium\\
(I)Reihe alternierend $(a_k*a_{k+1})<0$, \\
(II) $|a_{k+1}|\leq|a_k|$. \\
(III)$\lim\limits_{k\to\infty} = 0$
\\
evtl 3. durch Einschließungskrit. beweisen
\\
\textbf{Wurzelkrit.}
$\lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[]{\vert a_k\vert} < 1$ konvergent\\
$\lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[]{\vert a_k\vert} > 1$ divergent\\
\textbf{Vergleichskrit.}\\
$\sum a_k\\
\sum ck (c_k\geq0, konv Majo.)\\
\sum d_k(d_k \geq0, div Mino)$\\
$0 \leq |a_k| \leq c_k \rightarrow \sum abs. knov.$
\\
$0 \leq d_k \leq a_k \rightarrow \sum div.$\\
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\textbf{Potenzreihen}
$\sum\limits_{k=0}^\infty a_k (x-x_0)$ reele Potenzreihe\\
$\sum\limits_{k=0}^\infty c_k (z-z_0)$ komplexe Potenzreihe
BSP:
$\sum\limits_{k=0}^\infty a_k \frac{x^k}{k!} a_k=\frac{1}{k!} (*x^k)$ reele Potenzreihe
$e^{x} = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}$\\
$\sin(x) = \sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$\\
$\cos(x) = \sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!}$\\
$e^x$ ist konvergente MAjorante für $\sin(x)$ und $\cos(x)$\\
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\textbf{Konvergenzradius}\\
$0\leq \xi \leq \infty$\\
Häufig $x_o = 0$\\
$\xi = 0$ konv wenn $x = x_o$\\
$\xi = \infty$ konv für alle $x\in \textbf{R}$\\
\textbf{Quotientenkriterium}\\
$|x-x_0| < \xi = \lim\limits_{k\to\infty}\vert\frac{a_k}{ak_{+1}}\v ert$konvergent\\
$|x-x_0| > \xi = \lim\limits_{k\to\infty}\vert\frac{a_k}{ak_{+1}}\v ert$divergent\\
$|x-x_0| = \xi = \lim\limits_{k\to\infty}\vert\frac{a_k}{ak_{+1}}\v ert$konv. Krit fuer Reihen anwenden\\
\textbf{Wurzelkrit}\\
$|x -x_0| < \xi = \lim\limits_{k\to\infty}\frac{1}{\sqrt[]{\vert\frac{a_k}{ak_{+1}}\vert}}$ konvergent\\
$|x -x_0| > \xi = \lim\limits_{k\to\infty}\frac{1}{\sqrt[]{\vert\frac{a_k}{ak_{+1}}\vert}}$ divergent\\
$|x -x_0| = \xi = \lim\limits_{k\to\infty}\frac{1}{\sqrt[]{\vert\frac{a_k}{ak_{+1}}\vert}}$ extra unters\\
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
Tricks\\
$b_n = \sqrt{n+2} - \sqrt{n} = \sqrt{n+2} - \sqrt{n} *1 = \sqrt{n+2} - \sqrt{n} * \frac{(\sqrt{n+2} \- \sqrt{n})}{(\sqrt{n+2} \- \sqrt{n})} = \frac{2}{(\sqrt{n+2} - \sqrt{n})}$\\
$\lim(1 -1 \frac{1}{\frac{1}{n}}^n) = (\frac{1}{1} - \frac{1}{n})^n) = \frac{1}{(1+\frac{1}{n})^n} = \frac{1}{e}$
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\textbf{Differentation}
$\forall_\xi\in[a,b] f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\textbf{Binominalkoeffizient}\\
${a\choose b} = \frac{a(a-1)(a-2)...(a-k_{+1})}{k!}$\\
Speziallfall $n \in N, k \in N_o {n\choose k} = {n\choose n-k} = \frac{n!}{k!*(n-k)!}$
\textbf{Binomische Formel}\\
$(a+b)^n = \sum\limits_{k=0}^n{n\choose k} a^{n-k}b^k$
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\textbf{Euler}\\
$\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{c}^n)=e$, $e^0=1$
\end{minipage}
\begin{minipage}{14cm}
\textbf{Folgen}\\
Einschließungskrit.\\
$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\inf ty}b_n=g$\\
$a_n \leq c_n \leq b_n$ $c_n$ ist konvergent und $\lim\limits_{n\to\infty}c_n=g$\\
$a_n$ und $a_b$ richtig abschätzen(nach oben und unten)\\
$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\inf ty}b_n=\lim\limits_{n\to\infty}c_n$\\
m ist untere Schranke ${\forall_{n\in N}} m\leq a_n$\\
M ist obere Schranke ${\forall_{n\in N}} a_n \leq M$\\
$m \leq a_n \leq M$\\
Monotonikrit\\
$a_n \uparrow (\uparrow\uparrow) \wedge a_n \leq M \Rightarrow a_n$ konv\\
$a_n \downarrow (\downarrow\downarrow) \wedge m \leq a_n \Rightarrow a_n$ konv\\
Beschränktheit durch limes bestimmen, Monotonie durch $a_{a+1}-a_n$ oder $\frac{a_n}{a_{n+1}}$
\end{minipage}
\end{scriptsize}
\end{document}
danke
ich bin dabei eine Menge Formel usw mit Latex zu erstellen und habe noch einige Probleme bei der Ausrichtung, das A4 Blatt wird vom vorhandenen Platz nicht optimal genutzt, der Text fängt mitten auf dem Blatt an und die Darstellung könnte kleiner sein. Ich würde gerne mit Minipages arbeiten damit ich 2 Themen nebeneinander packen kann.
Dies ist mein erster Latex Versucht und ein paar Tips wären hilfreich.
\documentclass[10pt,a4paper,fleqn]{article}
%\twocolumn[2]
\usepackage{a4,german} %ngerman für neue Rechtschreibung
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
% \usepackage{url}
%\pagestyle{plain}
\pagenumbering{arabic}
\begin{document}
\begin{scriptsize}
\begin{minipage}{10cm}
\textbf{Reihen}\\
Leibnitzkriterium\\
(I)Reihe alternierend $(a_k*a_{k+1})<0$, \\
(II) $|a_{k+1}|\leq|a_k|$. \\
(III)$\lim\limits_{k\to\infty} = 0$
\\
evtl 3. durch Einschließungskrit. beweisen
\\
\textbf{Wurzelkrit.}
$\lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[]{\vert a_k\vert} < 1$ konvergent\\
$\lim\limits_{k\to\infty}\sqrt[]{\vert a_k\vert} > 1$ divergent\\
\textbf{Vergleichskrit.}\\
$\sum a_k\\
\sum ck (c_k\geq0, konv Majo.)\\
\sum d_k(d_k \geq0, div Mino)$\\
$0 \leq |a_k| \leq c_k \rightarrow \sum abs. knov.$
\\
$0 \leq d_k \leq a_k \rightarrow \sum div.$\\
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\textbf{Potenzreihen}
$\sum\limits_{k=0}^\infty a_k (x-x_0)$ reele Potenzreihe\\
$\sum\limits_{k=0}^\infty c_k (z-z_0)$ komplexe Potenzreihe
BSP:
$\sum\limits_{k=0}^\infty a_k \frac{x^k}{k!} a_k=\frac{1}{k!} (*x^k)$ reele Potenzreihe
$e^{x} = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}$\\
$\sin(x) = \sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}$\\
$\cos(x) = \sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!}$\\
$e^x$ ist konvergente MAjorante für $\sin(x)$ und $\cos(x)$\\
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\textbf{Konvergenzradius}\\
$0\leq \xi \leq \infty$\\
Häufig $x_o = 0$\\
$\xi = 0$ konv wenn $x = x_o$\\
$\xi = \infty$ konv für alle $x\in \textbf{R}$\\
\textbf{Quotientenkriterium}\\
$|x-x_0| < \xi = \lim\limits_{k\to\infty}\vert\frac{a_k}{ak_{+1}}\v ert$konvergent\\
$|x-x_0| > \xi = \lim\limits_{k\to\infty}\vert\frac{a_k}{ak_{+1}}\v ert$divergent\\
$|x-x_0| = \xi = \lim\limits_{k\to\infty}\vert\frac{a_k}{ak_{+1}}\v ert$konv. Krit fuer Reihen anwenden\\
\textbf{Wurzelkrit}\\
$|x -x_0| < \xi = \lim\limits_{k\to\infty}\frac{1}{\sqrt[]{\vert\frac{a_k}{ak_{+1}}\vert}}$ konvergent\\
$|x -x_0| > \xi = \lim\limits_{k\to\infty}\frac{1}{\sqrt[]{\vert\frac{a_k}{ak_{+1}}\vert}}$ divergent\\
$|x -x_0| = \xi = \lim\limits_{k\to\infty}\frac{1}{\sqrt[]{\vert\frac{a_k}{ak_{+1}}\vert}}$ extra unters\\
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
Tricks\\
$b_n = \sqrt{n+2} - \sqrt{n} = \sqrt{n+2} - \sqrt{n} *1 = \sqrt{n+2} - \sqrt{n} * \frac{(\sqrt{n+2} \- \sqrt{n})}{(\sqrt{n+2} \- \sqrt{n})} = \frac{2}{(\sqrt{n+2} - \sqrt{n})}$\\
$\lim(1 -1 \frac{1}{\frac{1}{n}}^n) = (\frac{1}{1} - \frac{1}{n})^n) = \frac{1}{(1+\frac{1}{n})^n} = \frac{1}{e}$
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\textbf{Differentation}
$\forall_\xi\in[a,b] f'(\xi) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\textbf{Binominalkoeffizient}\\
${a\choose b} = \frac{a(a-1)(a-2)...(a-k_{+1})}{k!}$\\
Speziallfall $n \in N, k \in N_o {n\choose k} = {n\choose n-k} = \frac{n!}{k!*(n-k)!}$
\textbf{Binomische Formel}\\
$(a+b)^n = \sum\limits_{k=0}^n{n\choose k} a^{n-k}b^k$
\end{minipage}
\begin{minipage}{10cm}
\textbf{Euler}\\
$\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{c}^n)=e$, $e^0=1$
\end{minipage}
\begin{minipage}{14cm}
\textbf{Folgen}\\
Einschließungskrit.\\
$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\inf ty}b_n=g$\\
$a_n \leq c_n \leq b_n$ $c_n$ ist konvergent und $\lim\limits_{n\to\infty}c_n=g$\\
$a_n$ und $a_b$ richtig abschätzen(nach oben und unten)\\
$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\inf ty}b_n=\lim\limits_{n\to\infty}c_n$\\
m ist untere Schranke ${\forall_{n\in N}} m\leq a_n$\\
M ist obere Schranke ${\forall_{n\in N}} a_n \leq M$\\
$m \leq a_n \leq M$\\
Monotonikrit\\
$a_n \uparrow (\uparrow\uparrow) \wedge a_n \leq M \Rightarrow a_n$ konv\\
$a_n \downarrow (\downarrow\downarrow) \wedge m \leq a_n \Rightarrow a_n$ konv\\
Beschränktheit durch limes bestimmen, Monotonie durch $a_{a+1}-a_n$ oder $\frac{a_n}{a_{n+1}}$
\end{minipage}
\end{scriptsize}
\end{document}
danke