Mit dem Code hier sollte es gehen. Man verwendet statt section, subsection, subsubsection die Varianten mysection, mysubsection, mysubsubsection. Da die Nummerierung von paragraph und subparagraph im apa.cls über die Zeile \setcounter{secnumdepth}{0} per se bereits abgeschaltet ist, hab ich mich darum nicht mehr extra gekümmert.

Eigentlich habe ich nur etwas Quick&Dirty neue Zähler definiert und die jeweils vor den eigentlichen Überschriftentext stellen lassen. Daher funktionierts auch mit den optionalen Argumenten der Überschriften nicht mehr.

Ich hoffe, das in etwa das, was ihr braucht?

Code:
\documentclass{apa}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[ansinew]{inputenc}

\newcounter{seccntr}
\setcounter{seccntr}{0}
\newcommand{\mysection}[1]{\stepcounter{seccntr}\section{\arabic{seccntr}~#1}}

\newcounter{subseccntr}[seccntr]
\setcounter{subseccntr}{0}
\newcommand{\mysubsection}[1]{\stepcounter{subseccntr}\section{\arabic{seccntr}.\arabic{subseccntr}~#1}}

\newcounter{subsubseccntr}[subseccntr]
\setcounter{subsubseccntr}{0}
\newcommand{\mysubsubsection}[1]{\stepcounter{subsubseccntr}\section{\arabic{seccntr}.\arabic{subseccntr}.\arabic{subsubseccntr}~#1}}


\begin{document}

\tableofcontents
\clearpage

\mysection{Section}
\mysection{Section}

\mysubsection{Subsection}
\mysubsection{Subsection}

\mysubsubsection{Subsubsection}
\mysubsubsection{Subsubsection}

\mysubsection{Subsection}

\mysubsubsection{Subsubsection}

\mysection{Section}
\mysection{Section}

\mysubsection{Subsection}
\mysubsection{Subsection}

\end{document}